经常有学生一脸困惑地问我，“老师，学数学有什么用啊？”我心里暗喜，这孩子高中三年后依然还会思考问题！可我只能无奈地回答，“如果你非要这样问的话，我不得不建议你，以后数学课的时间请去学修鞋吧！随便哪个地方支个摊，每天总有三五元的经济收入。你不能指望靠数学谋生。”有的同事也开玩笑说，“我所能想到的数学唯一的用处，就是发工资的时候要会数数。”学生的困惑，同事的玩笑，今天我一并给一个答复。

一、数学是一种生产力

先举些例子。牛顿用了整整七年的时间补习数学，爱因斯坦借助于黎曼几何创立了相对论等等这些耳熟能详的物理学领域的例子我们就不多说了，我们来讲一些计算机和经济学领域的例子。

1、如果要用一个词来描述当今世界发展变化的最大趋势，我想，只能是“全球化”。早在一个半世纪以前，马克思和恩格斯就以超时代的洞察力在《共产党宣言中》预言了全球化。那么，又是什么使得全球化在今天才成为可能而且愈演愈烈呢？计算机！计算机这个迄今为止最深刻地改变着人类的思维方式、生活方式，使我们这个世界变得“越来越平”(注1)的伟大发明！计算机是谁发明的呢？数学家。凭借论文《论数字计算在决断难题中的应用》和《机器能思考吗》被誉为“计算机之父”和“人工智能之父”的图灵以及给出计算机基本架构的冯·诺伊曼本身就是天才的数学家，而第一台现代计算机ENIAC的发明者莫西利和艾克特也都有相当深刻的数学背景。

2、世界上第一批计算机学家，绝大多数都有深刻的数学背景。以发明汉字激光照排系统使得我们“告别铅与火，迎来光与电”而被誉为当代毕昇的王选先生(北大方正的创始人，去年2月份不幸离世)，就将其成功部分归功于其在北大扎实的数学训练；而语音识别专家、Google全球副总裁、中国区总裁、以致中国学生的四封公开信而备受IT领域青年学子拥护的李开复先生，在给计算机学子的许多建议中，除了争取在校期间拥有编两万行程序的经验以外，还有打好数学基础这一条！

3、《崩溃！密码学的危机》，美国《新科学家》杂志用这样一个骇人听闻的题目来报道谁？她就是山东大学当年还不到40岁的年轻科学家王小云教授(注2)。

2004年8月，在美国加州圣芭芭拉召开的国际密码大会上，王小云主动发言，石破天惊地告诉在座的世界上最著名的密码学家们：她及其研究小组一举破译了MD5、HAVAL-128、MD4和RIPEMD4个著名密码算法！要知道，MD5是当今应用最广泛的两大密码体系之一，由图灵奖获得者麻省理工大学的RonaldRivest教授精心设计，即便是当今世界上最快的巨型计算机也需要100万年才能破解。而利用王小云的算法，在普通的个人电脑上几分钟的时间就可以找到有效结果。MD5倒下了！2005年2月15日，就在人们庆幸幸亏我们还有SHA－1时，就在美国国家标准技术研究院发表声明，没有足够的理由怀疑SHA－1会很快被攻破后仅仅一周，王小云宣布，她又成功破解了这个由美国专门制定密码算法的标准机构——美国国家标准技术研究院(NIST)与美国国家安全局(NSA)设计、被称为“白宫密码”的SHA－1！至此，目前世界上应用最广泛的两大密码算法都被王小云终结了！全世界为之震惊！要知道，两大算法是目前国际电子签名及许多其他密码应用领域的关键技术，广泛应用于金融、证券等电子商务领域。其中SHA-1更是被认为是现代网络安全不可动摇的基石。很快，NIST宣布，美国政府5年内将不再使用SHA-1，取而代之的将是更为先进的新算法，微软、Sun和Atmel等知名公司也纷纷发表各自的应对之策。

除了与生俱来的天赋以外，王小云这个终结者的犀利武器是什么呢？数论，数论这个曾经甚至被许多数学家自己也戏虐为最古老、最艰深而又最没用的数学分支！

4、诺贝尔不是在遗嘱中专门叮嘱不要设立诺贝尔数学奖吗？(注3)大批有深厚数学功底的人转行经济学这一显学，获得了相当比例的诺贝尔经济学奖，这其中至少包括：以一本最风靡全球的《经济学》教科书而影响了数以千万计经济学学子的美国“经济学第一人”保罗·萨缪尔森(1970)、以著名的“阿罗不可能定理”而深刻地改变了人们对选举制度认识的肯尼斯·约瑟夫·阿罗(1972)、投入产出模型的开拓者华西里·列昂惕夫(1973)、因创立了在资源最优分配中广泛应用的线性规划而享誉全球的列奥尼德·康托罗维奇(1975)、在金融经济学中做出开创性贡献的哈里·马科维茨(1990)、给出了非合作博弈论中最核心的概念纳什均衡的传奇天才数学家约翰·纳什(1994，注5)、“欧元之父”罗伯特·蒙代尔(1999)、以研究时间序列分析而闻名于世的罗伯特·恩格尔和克莱夫·格兰杰(2003)、与托马斯·谢林一起在被瑞典皇家科学院的评语中称赞“利用博弈论的手段改变了人们对冲突与合作的理解”的数理博弈论集大成者罗伯特·奥曼(2005)等等。罗素先生(注4)则令人吃惊地获得了1950年的诺贝尔文学奖！

5、一个数学家，山东大学数学研究所所长、金融研究院院长彭实戈教授(注6)创立的倒向随机方程被公认为研究金融市场衍生证券定价理论的基础工具；

6、看看邹恒甫先生(注7)在武大创立的数理金融与数理经济试验班开设的课程：数学分析、线性代数、概率论与数理统计、常微分方程、动态规划、随机过程、实变函数、复变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学、微分几何、微分拓扑、组合数学、对策论……相当多大学的数学系也开不全这么多的专业课！(http://ias.whu.edu.cn/html/2005-9/2005914153407.asp)

……

这种鲜活的例子还可以举出许多。可以毫不夸张地说，数学是几乎所有自然科学研究的有力工具，具有跟观察和试验同等重要的地位；在有些无法或很难进行观察试验的领域，数学甚至是唯一的工具和方法！相对于社会科学来说，自然科学一直在不断前进，数学的作用功不可没。另外，近十几年来，随着博弈论(注8)的不断广泛而深入的研究应用，数学有越来越深入地渗透到的社会科学研究中的趋势。

目前，国际上已经形成了“数学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术”的共识，还提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。天气预报的愈来愈准确、CT的发明，都离不开数学；而21世纪最引人瞩目的三门科学：纳米科学、生物科学和信息科学，在很大程度上也都依赖于数学。这都强有力地支持和证明着这种观点。

小平同志说，“科技是第一生产力！”我说，数学也是一种生产力！

看完以上例子，认识到“数学是一种生产力”，我们就不难理解，正如英国Warwick大学教授、曲阜师范大学“泰山学者”岗位特聘教授陈礴先生在一次座谈会上提起的，为什么数学是许多英籍华人为其子女首选的专业！

二、数学是一种文化

我们知道，语言除了具有沟通的功能外，还是人类思维的一种载体(当然，有些思维可以不借助任何载体，例如直觉和灵感)。而自然语言的模糊性和歧义性使其在思维中扮演了双刃剑的角色，这也正是为什么西方哲学在经历了“本体论阶段”和“方法论阶段”以后，又进一步“形而下”，于上世纪初进入了“语言哲学阶段”的原因：对于哲学思考来说，自然语言不堪重任。哲学家之间无法进行有效的沟通交流，哲学思考无法深入进行，哲学家们甚至发现有些苦苦探索的问题竟然根本就不是一个有效命题！(举一个最简单的例子，先有鸡还是先有蛋就不是一个有效命题。因为鸡是从一种不被称为鸡的动物缓慢进化来的，鸡和蛋都不是精确的概念，放在这种异常尖锐的语境中就会造成表面上的两难。)无奈之下，哲学家们只能寄希望于重新建立一套严密的属于自己的语言体系。

数学家就没有这种困境。因为他们很久以来就有了属于自己的语言——数学语言。爱因斯坦先生曾说过，任何一门科学不过是一些日常思考的提炼罢了。有趣的数学也不例外。最初的数学和数学的某些分支其实是现实社会的一个简化的模型，以回答一些“日常思考”为己任，也以现实生活为其发展的动力和源泉。然而更重要的一方面是，数学同时还为这些思考提供一个载体，是人类思维的外显和工具。如果说物理学、经济学等学科的成就代表着人类对自然和社会认识的高度的话，数学的成就代表的则是人类思维能力的最高峰！

与自然语言相比，数学这个思想和思维的载体具有无与伦比的精确性和严密性。正是由于这种精确和严密，人类的逻辑能力才可以发挥到极致，人类的思维能力才可以“累积”。这种累积要比财富和知识的累积更为核心和重要，也更为艰难。也正是借助于数学这个精确和严密的工具，相当多的自然科学才发展到今天的高度。而与之相对比的是，也正是由于缺乏类似于数学这样精确而严密的工具，历史学、心理学等社会科学的研究才那样迂回曲折，很少有那种阶梯式的前进，而博弈论也才被寄予如此高的期望。这是多么滑稽的一幕啊！社会科学研究与自然科学研究相比本来是有无法比拟的优势的，因为它有自然语言这样一个天然的工具，而自然科学则不得不艰难地创造自己的工具。南柯一梦几千年，发展结果却是这样的出人意料。当然，数学家和自然科学家也没有理由为自己的成就而沾沾自喜，因为或许这是由学科内在的差异决定的，而非学者们所能左右的。

认识到数学也是一种语言，一种不同于自然语言的思维方式，就不难理解为什么培根在《论读书》中说，“数学使人严密”；就不难理解为什么千百年来无数文人骚客冥思苦想的所谓永恒的话题，比如爱情，比如人生，在一些有哲学素养的数学家眼里都是可以理解透彻的；就不难理解为什么说数学不仅是人类知识和思想宝库里一颗璀璨的明珠，而且站在了人类思维高度的最高峰；也就不难理解我们今天的高等数学教育实际上更重要的应该是一种文化教育。

很多人会问，不懂微积分又能怎样？

我不敢冒然说不懂微积分便是无知和没有文化，正如没有人敢冒然说不知道柏拉图和弗洛伊德便是无知和没有文化一样。然而，对于人类最基本的一些思想和思维的成就没有任何的了解，于个人的知识结构多多少少都是一种缺憾。萨缪尔森先生曾说过，“要在现代社会做一个有文化的人，你必须对博弈论有一个大致的了解”，套用一下这个句式，我认为，要在现代社会做一个有文化有思想的人，你最好对数学的思想和成就多少有些了解。

三、 高职院校中高数的教与学

2007年3月12日，教育部高等教育司建议各大学将大学语文设为必修课。清华、北大等高校纷纷响应，徐中玉、齐森华等语文教育学家欢呼雀跃：国家终于开始重视大学生母语教育了！学生们则胆战心惊：除了烦人的英语，汉语不过关也别想拿到学位证了！而质疑的声音也异常强烈：中小学十几年语文教育都解决不了的问题，大学语文又会有什么神奇的功效？而在这种种的声音里，钱理群先生(注9)的观点我最为欣赏，“重心应该转移到文学教育上来。所谓‘文学教育’，重心有三：一是‘心灵’，二是‘语言’以及语言背后的‘文化’，三是‘美感’。”

再来看看大学数学。高数是理工科学生的必修课这是自有大学始便从未变更的，越来越多的大学将高等数学设为文科生的选修课，而近些年雨后春笋般冒出的高职院校也将高等数学设为理工科以及经济管理类学生的必修课。在教育部和学校负责人办学方向愈来愈清晰的今天，在大学分工有愈来愈趋明显的今天，高数在高职院校中的教学与在传统大学理工科中的教学势必应该有不同的定位。下面谈谈我的一家之言。

我的基本观点是，高职院校中的高数(以及文科高数)扮演着跟大学语文类似的角色，其教学应该更倾向于定位在一种文化教育上。

什么样的知识才真正是自己的？是在患老年痴呆症前始终流淌在血液里的！

当学生问我高数有什么用的时候，他肯定不是无知到以为数学对我们社会没有任何的用处；而当我回答他这样问太功利不如去学修鞋的时候，心里却不敢说我们的高数教育是成功的。

学生的疑问是有道理的，应该反思的恰恰是我们高数教师、学校领导、数学教育家以及教育部相关负责人：能有多少高数流淌到我们学生的血液中？目前这种高数教育对他们真的是有用的吗？他们的收益与成本相匹配吗？

当我们的学生走上社会，当他们思考问题以及与人辩论连充分条件和必要条件都分不清的时候，能说我们的数学教育，包括中小学数学教育是成功的吗？

传统理工科教育的定位是培养具有较强科研能力的中高层次人才，高数教学中很少会有学生会问数学有什么用，因为在他们的专业课学习中，在以后的实际工作中，经常会有数学的身影，作为工具的数学对于他们来说一点都不陌生。而我们的高职教育，是定位在培养具有较强实际操作能力的中低层次人才，数学在他们的专业课学习中仅仅是偶尔出现，而一旦走上工作岗位则很有可能是跟高数永远说BYEBYE。这就是为什么跟传统理工科相比我们高职院校高数教育应该更多地侧重于文化的原因。

少一些技巧，多一些思想；少一些训练，多一些思索；少一些灌输，多一些启发；少一些死记硬背，多一些内心深处的共鸣；少一些枯燥乏味，多一些心灵的愉悦！

成功的语文教育应该让学生享受到内心最深处的触动，而成功的高数教育则应该让学生充分享受到思想和思维最深处的震撼！

原来无穷有这么多有趣的性质啊！原来微积分可以解决这么多的问题啊！原来计算机除了打游戏、看电影和聊天发E-mail以外还有这么多神奇的功能啊！原来我们说了用了十几年的概念还需要重新审视和思考啊！原来看问题还可以有这样的角度啊！原来以前那样看问题还有很大的逻辑漏洞啊！原来人的思想这么容易受蛊惑啊！原来人类的思维这样奇妙啊！原来思考问题有这样的乐趣啊！

在我们的高数课上大多数学生不能不断发出这样的感慨以前，我们不能说我们的高数教育是成功的！

亲爱的同学们，我教过和没教过的，记住名字和没记住名字的，认识我和不认识我的，我不敢说一年的高数学习会对你们的人生有多大的影响，我甚至不敢说明年的今天你们脑袋里还能残存多少高数，我只希望，若干年以后，当你们有了自己的孩子，孩子上幼儿园的时候，你能告诉他，1，2，3，4，5是人类的一个伟大发明，巴西热带雨林里有的原始部落现在还只会数到3；孩子上小学的时候，你能告诉他，很大很麻烦的数学运算计算机眨眼间就可以算出来。告诉他计算机还有许许多多其它神奇的功能，要想学会这些神奇的功能和驾驭计算机来为人类作更大的贡献，必须学好数学，因为计算机就是数学家发明的；孩子上初中的时候，你能告诉他，方程有许许多多的用处，是一种伟大的思想，除了代数方程以外还有以函数为解的奇妙的微分方程。能告诉他计算机编程没有什么好神秘的，他和数学一样简单，也一样好玩，现在就能利用编程来解决很多问题。希望当孩子捣鼓“几何画板”的时候你有足够的学习能力学得和他一样好，有足够的兴致陪他一起玩；

孩子高中了，当他兴致勃勃地告诉你，原来加速度时时刻刻变化的物体的运动也可以研究的很清楚，原来瞬时速度的定义需要借助于导数，原来椭圆以及抛物线与坐标轴所夹区域的面积也是可以求的，原来开普勒三大定律和牛顿万有引力定律是等价的可以相互推导的！我希望你们不会太茫然无知，希望你们能和孩子多少交流几句。至于你们自己已经忘却了怎样求导怎样积分和怎样推导那些复杂的式子，那是不必有任何羞愧的。

孩子上了大学了，也来学习高等数学这门课，如果他也有和你现在一样的困惑，打电话告诉你的时候，我希望你至少会告诉他，数学不是没用的，没用的或许仅仅是他那个高数老师。当然，让我们一起来祈祷，那时的学生都不再会有你们今天的困惑，都能在高数课上充分享受数学的乐趣！思维的乐趣！

注1．请参考：托马斯·弗里德曼《世界是平的》。比尔·盖茨对此书推崇备至，认为是企业员工必读书籍；

注2．王小云，山东诸城人，1966年生，目前已被清华挖走，为该校高等研究中心“长江学者特聘教授”。迄今为止唯一的亚裔图灵奖获得者、经常被网友拿来跟杨振宁作比较的姚启智先生亦在该中心全职工作。导师潘承洞：华罗庚先生的弟子，原山大校长，1997年离世，今山大校长展涛(兖州人)亦为其得意门生；

注3．据说是由于其情敌为当时世界上最著名的数学家。数学领域的最高奖是菲尔兹奖，迄今获过该奖的华裔数学家仅有丘成桐(1982)和陶哲轩(2006，1975年生！)

注4．Bertrand Arthur WilliamRussell，1970离世，享年99岁，英国思想家、哲学家、数理逻辑学家，世界和平运动的倡导者和组织者。著名的“罗素悖论”直接导致了所谓的“第三次数学危机”。代表作《西方哲学史》、《幸福之路》等。生活信念：“有三种力量支撑着我活下去：对知识的渴望、对爱情的追求和对人类苦难痛彻心肺的怜悯”。曾于1920年和杜威一同来北京讲学，回国后写成《中国问题》一书，孙中山先生因此书而称其为“唯一真正理解中国的西方人”。徐志摩当年远赴英伦欲到剑桥拜该公为师，却发现由于反战原因他已被剑桥开除，失望之余写下了著名的《再别康桥》！《新概念》第四册的美文《论老之将至》(Howto grow old)也出自该公之手；

注5．JohnNash，第74届奥斯卡最佳影片奖《美丽心灵》男主角的原型，青岛大学名誉教授；

注6．彭实戈，山东滨州人，1947年生，十几年前就被公认具备院士水平，由于某些具有中国特色的众所周知的原因2005年才众望所归；

注7．邹恒甫，新中国成立以来从哈佛大学毕业的中国第一个经济学博士、也是第一个进入世界银行研究部的中国经济学家，在去年初全球10多万名经济学家和5500名著名经济学家的大排名中名列世界第247位。根据2000年国内文献情报中心的SSCI检索结果，仅仅由于邹恒甫一个人所发表文章，就把武汉大学在这一领域的排名从第十几位上升到了第三位。以“炮轰德隆、三叩ＴＣＬ、四问海尔、七敲格林柯尔”而对MBO提出严重质疑、2004年掀起了著名的”郎旋风”的传奇金融学家、极为自负的香港中文大学教授郎咸平先生曾说，“邹恒甫教授是我在国内最敬重的人，不是之一，而是唯一。”最近，邹先生由于揭露包括张维迎在内的一大批国内主流经济学家的丑行而在网上闹得沸沸扬扬。

注8．博弈论(GamesTheory)，又翻译成对策论，是研究具有竞争性现象的理论和方法的一门数学分支。简单一点来说，博弈论模型中每个人的收益不仅取决于自己的决策，还取决于对手的决策。这与科学研究中经常假设外生变量固定不变的方法有本质的区别。博弈论中最著名的一个例子是“囚徒困境”：两个犯罪嫌疑人被抓，分别审讯。由于证据不足，警局告知两个嫌疑人，如果两个人都坦白，每人判刑8年；如果一个坦白，一个拒供，则拒供的判刑10年，坦白的不仅无罪释放，还奖励5000元；如果两个人都拒供，每人拘留3个月。容易分析，每个人的最优策略都是坦白。从而极有可能出现的局面是每个人都坦白，各判8年。而集体最优策略显然是都拒供。“囚徒困境”深刻地反映了个人理性与集体理性之间的矛盾。传统经济学理论认为“人人为自己就是人人为大家”，那只“看不见的手”有着神奇的力量。“囚徒困境”则告诉我们，那只神秘的手也有失灵的时候！由于博弈论越来越深入地应用到了社会科学研究中，被人誉为“社会科学中的微积分”。有人甚至声称要用博弈论来重写经济学！

注9．钱理群，北大学者，鲁迅研究专家，孔庆东(《47楼207》的作者)和余杰(《冰与火》、《香草山》等的作者)的导师。