博弈的均衡——纳什均衡
我们已经找到了一个策略组合，其中，各方的行动就是针对对方行动而确定的最佳对策。一旦知道对方在做什么，就没人愿意改变自己的做法。博弈论学者把这么一个结果称为“均衡”。这个概念是由普林斯顿大学数学家约翰·纳什(也就是电影《美丽心灵》的主人公)提出的，因此被称为“纳什均衡”。
纳什均衡是博弈分析中的重要概念。1950年，还是一名研究生的纳什写了一篇论文，题为《n人博弈的均衡问题》，该文只有短短一页纸，可就这短短一页纸成了博弈论的经典文献。在这篇论文中，纳什给出了博弈均衡的定义，即纳什均衡。
那么，什么是纳什均衡呢？简单说就是，一策略组合中，所有的参与者面临这样的一种情况：当其他人不改变策略时，他此时的策略是最好的。也就是说，此时如果他改变策略，他的支付将会降低。在纳什均衡点上，每一个理性的参与者都不会有单独改变策略的冲动。
在囚徒困境中存在惟一的纳什均衡点，即两个囚犯均选择“招认”，这是惟一稳定的结果。
有些博弈的纳什均衡点不止一个。如下述“夫妻博弈”(或称性别之战)中有两个纳什均衡点。丈夫和妻子商量晚上的活动。丈夫喜欢看拳击，而妻子喜欢欣赏歌剧。但两人都希望在一起度过夜晚。在这个“夫妻博弈”中有两个纳什均衡点：(歌剧，歌剧)，(拳击，拳击)。在有两个或两个以上纳什均衡点的博弈中，其最后结果难以预测。在“夫妻博弈”中，我们无法知道，最后结果是一同欣赏歌剧还是一起去看拳击。
纳什均衡是博弈论中的重要概念，同时也是经济学的重要概念。
诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森有一句幽默的话：你可以将一只鹦鹉训练成经济学家，因为它所需要学习的只有两个词：供给与需求。博弈论专家坎多瑞引申说：要成为现代经济学家，这只鹦鹉必须再多学一个词，这个词就是“纳什均衡”。由此可见纳什均衡在现代经济学中的重要性。纳什均衡不仅对经济学意义重大，对其他社会科学意义也同样重大。
启示：通俗地说，纳什均衡含义就是：给定你的策略，我的策略是最好的策略；给定我的策略，你的策略也是你最好的策略。即双方在对方给定的策略下不愿意调整自己的策略。
纳什均衡有什么用
纳什的想法成为我们指导同时行动博弈的最后一个法则的基础。这个法则如下：走完寻找优势策略和剔除劣势策略的捷径之后，下一步就是寻找这个博弈的均衡。
我们还要解释一下这个法则。为什么一个博弈的参与者非得达到这么一个结局呢？我们可以说出好几个理由。没有一个理由本身就有足够的说服力，不过，只要把几个理由结合起来，就能形成一个有力的答案。
首先，存在避免循环推理的必要，因为循环推理帮不上忙。均衡在没完没了的“我知道他知道我知道……”的循环里是稳定不变的，这使参与者对其他人的行动的估计能保持连贯性。各方正确预计别人的行动，并且确定自己的最佳对策。
均衡策略的第二个好处出现在零和博弈中。在这种博弈里，参与者的利益严格相悖。你的对手不能通过引诱你采取一个均衡策略而得到任何好处。你已经充分考虑到他们对你正在做的事情会有什么样的最佳对策。
第三个理由是，均衡方法注重实效。要想知道梨子的滋味，就要吃一吃。我们将会利用均衡方法讨论许多博弈。希望读者来检验它对博弈结果的预测以及这种思维方式产生的行为指导方针。相信这么做会使我们的分析更有意思，比抽象地讨论均衡方法的优点更有意义。
最后，可能存在一个对均衡概念的误解，希望各位可以避免。当我们说博弈的结果是均衡，并不一定是对参与者最有利的结果，更不意味着是对整个社会作为一个整体而言最有利的结果。有利或者不利的评价永远属于另外一个问题，答案视各个案例的具体情况而各有不同。
在经济学中，均衡意即相关量处于稳定值。在供求关系中，某一商品市场如果在某一价格下，想以此价格买此商品的人均能买到，而想卖的人均能将商品卖出去，此时我们就说，该商品的供求达到了均衡。此时的价格可称之为均衡价格，产量称之为均衡产量。均衡分析是经济学中的重要分析。
那么什么是博弈论的均衡呢？所谓博弈均衡，它是一稳定的博弈结果。均衡是博弈的一结果，但不是说博弈的结果都能成为均衡。博弈的均衡是稳定的，因而是可以预测的。
纳什均衡是一最常见的均衡。它的含义是：在对方策略确定的情况下，每个参与者的策略都是最好的，此时没有人愿意先改变自己的策略。
在上面的“买——卖”的博弈中，可以解释为什么在现实中讨价还价后买卖能做成的原因，因为这对双方来说都是最优选择。同时在“买——卖”博弈中，其均衡对双方来说是全局最优的。
警察与小偷
是不是所有的博弈均存在纳什均衡点呢？不一定存在纯策略纳什均衡点——所谓纯策略是指参与者在他的策略空间中选取惟一确定的策略。但至少存在一个混合策略均衡点——所谓混合策略是指参与者采取的不是惟一的策略，而是其策略空间上的概率分布。这就是纳什于1950年证明了的纳什定理。我们下面将在“警察与小偷”的博弈中给出混合策略的说明。
在西部片里，我们常能看到这样的故事：某个小镇上只有一名警察，他要负责整个镇的治安。现在我们假定，小镇的一头有一家酒馆，另一头有一家银行。再假定该地有一个小偷，要实施偷盗。因为分身乏术，警察一次只能在一个地方巡逻；而小偷也只能去一个地方。假定银行需要保护的财产价格为2万元，酒馆的财产价格为1万元。若警察在某地进行巡逻，而小偷也选择了去该地，就会被警察抓住；若警察没有巡逻的地方而小偷去了，则小偷偷盗成功。警察怎么巡逻才能使效果最好？
一个明显的做法是，警察对银行进行巡逻，这样，警察可以保住2万元的财产不被偷窃。可是如此，假如小偷去了酒馆，偷窃一定成功。这种做法是警察的最好做法吗？有没有对这种策略改进的措施？
这个博弈没有纯策略纳什均衡点，而有混合策略均衡点。这个混合策略均衡点下的策略选择是每个参与者的最优(混合)策略选择。
对于这个例子，对于警察的一个最好的做法是，警察抽签决定去银行还是酒馆。因为银行的价值是酒馆的两倍，所以用两个签代表银行，比如如果抽到1、2号签去银行，抽到3号签去酒馆。这样警察有2／3的机会去银行进行巡逻，1／3的机会去酒馆。而小偷的最优选择是：以同样抽签的办法决定去银行还是去酒馆偷盗，只是抽到1、2号签去酒馆，抽到3号签去银行，那么，小偷有l／3的机会去银行，2／3的机会去酒馆。
警察与小偷之间的博弈，如同小孩子之间玩“剪刀石头布”的游戏，在这样一个游戏中，不存在纯策略均衡，对每个小孩来说，自己采取出“剪刀”、“布”还是“石头”的策略应当是随机的，不能让对方知道自己的策略，哪怕是“倾向性”的策略。如果对方知道你出其中一个策略的“可能性”大，那么你在游戏中输的可能性就大。因此，每个小孩的最优混合策略是采取每个策略的可能性是l／3。在这样的博弈中，每个小孩各取三个策略的1／3是纳什均衡。由此可见：纯策略是参与者一次性选取的，并且坚持他选取的策略；而混合策略是参与者在各种备选策略中采取随机方式选取的。在博弈中，参与者可以改变他的策略，而使得他的策略选取满足一定的概率。当博弈是零和博弈时，即一方所得是另外一方的所失时，此时只有混合策略均衡。对于任何一方来说，此时不可能有纯策略的占优策略。
启示1：没有把真正的问题找出来就盲目采取行动，是最愚蠢的做法。能够找出问题，已经可以说是把问题解决一半了。
启示2：解决问题的公式：
(1)找出问题发生的原因；
(2)分辨情报的价值；
(3)彻底推行解决方案；
(4)观察事情进行得是否顺利。
任何事情都看似很难，实质不难；任何事情都比你预期的更令人满意；任何事情都能办好，而且是在最佳的时刻办好——麦可斯韦尔定律有助你走出阴霾。
斗鸡博弈的难局
试想有两只公鸡遇到一起，每只公鸡有两个行动选择：一是退下来，一是进攻。如果一方退下来，而对方没有退下来，对方获得胜利，这只公鸡则很丢面子；如果对方也退下来双方则打个平手；如果自己没退下来，而对方退下来，自己则胜利，对方则失败；如果两只公鸡都前进，那么则两败俱伤。因此，对每只公鸡来说，最好的结果是，对方退下来，而自己不退，但是此时面临着两败俱伤的结果。
两者如果均选择“前进”，结果是两败俱伤，两者均获得-2的支付；如果一方“前进”，另外一方“后退”，前进的公鸡获得1的支付，赢得了面子，而后退的公鸡获得-l的支付，输掉了面子，但没有两者均“前进”受到的损失大；两者均“后退”，两者均输掉了面子获得-1的支付。当然这些数字只是相对的值。
这个博弈有两个纳什均衡：一方前进，另一方后退。但关键是谁进、谁退？一个博弈，如果有惟一的纳什均衡点，那么这个博弈是可预测的，即这个纳什均衡点就是一事先知道的惟一的博弈结果。但是如果一博弈有两个或两个以上的纳什均衡点，则无法预测出一个结果来。因此，我们无法预测斗鸡博弈的结果，即不能知道谁进谁退，谁输谁赢。
用这个博弈来解释美苏两个超级大国之间的古巴导弹危机，是最合适不过的了。
面对美国的反应，苏联面临着是将导弹撤回国还是坚持部署在古巴的选择？而对于美国，则面临着是挑起战争还是容忍苏联的挑衅行为的选择？也就是说，这两只大公鸡均在考虑采取进的策略还是退的策略？
战争的结果当然是两败俱伤，而任何一方退下来(而对方不退)则是不光彩的事。结果是苏联将导弹从古巴撤了下来，做了丢面子的“撤退的鸡”。美国坚持了自己的策略，做了“不退的鸡”。当然，为了给苏联一点面子，同时也担心苏联坚持不退而发生美苏战争——这是美国不愿意看到的，美国象征性地从土耳其撤离了一些导弹。古巴导弹危机是冷战期间美苏两霸之间发生的最严重的一次危机。
这就是美国与苏联在古巴导弹上的博弈结果。对于苏联来说，退下来的结果是丢了面子，但总比战争要好；对美国而言，既保全了面子，又没有发生战争。这就是这两只“大公鸡”博弈的结果。
启示：任何事情都看似很难，实质不难；任何事情都比你预期的更令人满意；任何事情都能办好，而且是在最佳的时刻办好——麦可斯韦尔定律有助你走出阴霾。
左边还是右边
前面我们已知，在博弈中纳什均衡点如果有两个或两个以上，结果就难以预料。这对每个博弈方都是麻烦事，因为后果难料，行动也往往进退两难。一个小例子就是两个骑自行车的人对面碰头，很容易互相“向住”：因为不知道对方会不会躲、往哪边躲，自己也不知该如何反应，于是撞到一起。
自行车相撞一般不会造成什么大麻烦，可是如果换成马车、汽车，就可能出现伤亡。所以，应该有一个强制性的规定，来告诉人们该怎么做。
开车的时候你应该走哪一边？假如别人都靠右行驶，你也会留在右边。套用“假如我认为他认为”的框架进行分析，假如每个人都认为其他人认为每个人都会靠右行驶，那么每个人都会靠右行驶，而他们的预计也全都确切无误。靠右行驶将成为一个均衡。
不过，靠左行驶也是一个均衡，正如在英国、澳大利亚和日本出现的情况。这个博弈有两个均衡。均衡的概念没有告诉我们哪一个更好或者哪一个应该更好。假如一个博弈具有多个均衡，所有参与者必须就应选择哪一个达成共识，否则就会导致困惑。
海上航行也要面临同样的问题，尽管大海辽阔，但是航线却是比较固定的，因此船只交会的机会很多，这些船只属于不同的国家，如何调节谁进谁退的问题呢？先来看一个小笑话：
一艘军舰在夜航中，舰长发现前方航线上出现了灯光。
舰长马上呼叫：“对面船只，右转30度。”
对方回答：“请对面船只左转30度。”
“我是美国海军上校，右转30度。”
“我是加拿大海军二等兵，请左转30度。”
舰长生气了：“听着，我是‘列克星顿’号战列舰舰长，这是美国海军最强大的武装力量，右转30度！”
“我是灯塔管理员，请左转30度。”
即使你官阶、舰船再大，灯塔也不会给你让路。那么，如果是两条船相遇，又如何决定呢？
谁先让不能等待临时谈判，也不是由官阶说了算。海上避碰也有像许多国家规定车辆在马路上靠右走那样不容谈判的规矩。人们规定，迎面交会的船舶，各向右偏一点儿，问题就解决了。十字交叉交会的船舶，则规定看见对方左舷的那艘船要让，慢下来或者偏右一点儿都可以。这就从制度上规定了避让的方式。
这十字交叉交会时如何避免碰撞的规矩，就是上述博弈的两个纳什均衡中的一个。究竟哪一个纳什均衡真正发生，现在就看两船航行的相互位置。如果甲看见乙的左舷，甲要让乙原速直走，就是右上角那个纳什均衡；如果乙看见甲的左舷，乙要让甲原速直走。
谁打电话
上面的例子是通过规定解决了问题，不过，若是遇到电话打到一半突然断了的事，你该怎么办？
假如你正在和女友通话，电话断了，而话还没说完。这时有两个选择，马上打给对方，或等待对方打来。注意：如果你打过去，她就应该等在电话旁，好把自家电话的线路空出来，如果她也在打给你，你们只能听到忙音；另一方面，假如你等待对方打电话，而她也在等待，那么你们的聊天就没有机会继续下去。
一方的最佳策略取决于另一方会采取什么行动。这里又有两个均衡：一个是你打电话而她等在一边，另一个则是恰好相反。
一个解决方案是，原来打电话的一方再次负责打电话，而原来接电话的一方则继续等待电话铃响。这么做的好处是原来打电话的一方知道另一方的电话号码，反过来却未必是这样。
另一种可能性是，假如一方可以免费打电话，而另一方不可以(比如你是在办公室而她用的是住宅电话)，那么，解决方案是拥有免费电话的一方应该负责第二次打电话。还有一种比较通常的解决方法是，由较热切的一方来打电话，如一个煲电话粥成瘾的家庭主妇对谈话的热情很高，而她的同伴就未必这样，这种情况下通常是她打过去。再如恋爱中的男女遇到这种情况，通常也是由主动追求者打电话。
假如不考虑以上因素，那么打这个电话又得用到这种“混合策略”了：设想双方都投硬币决定自己是不是应该给对方打电话，根据前面给出的条件，两人这种随机行动的组合成为第三个均衡。
假如我打算给你打电话，我有一半机会可以打通(因为这时你恰巧在等我打电话)，还有一半机会发现电话占线；假如我等你打电话，那么，我同样会有一半机会接到你的电话，因为你有一半机会主动给我打电话。
每一个回合双方完全不知道对方将会采取什么行动，他们的做法实际上对彼此都最理想。因为我们只有一半机会重新开始被打断的电话聊天，我们知道我们(平均来说)要尝试两次才能成功接通。
需要再次强调的是：均衡不一定是博弈的最优结果。在“囚徒困境”中，惟一的均衡是一起招认，站在群体的角度，这是最坏的结果。均衡只是博弈的最“稳定”结果，或者说是最可能出现的结果。那么，这就需要我们思考一个问题：如果这个“稳定”结果效果不佳，我们能否找到合理的策略打破这个“均衡”？
启示：在同时行动的博弈中，有三个行动法则：一是寻找和运用优势策略；二是寻找和避免劣势策略，同时假定你的对手也在这么做；三是寻找和运用均衡。
